En partant des fonctions trigonométriques des angles aigus du collège (côté opposé / hypoténuse), lorsque nous rencontrons des angles supérieurs à $90^\circ$ ou des angles négatifs, le triangle rectangle géométrique n'est plus applicable. À ce stade, le cercle unitédevient l'outil fondamental pour unifier tous les angles et définir les fonctions trigonométriques.
1. Définition des fonctions trigonométriques d'un angle quelconque
Soit $\alpha$ un angle quelconque dont le côté terminal coupe le cercle unité au point $P(x, y)$, alors on définit :
- Sinus (Sine) : $\sin \alpha = y$
- Cosinus (Cosine) : $\cos \alpha = x$
- Tangente (Tangent) : $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
Si le point $P(x, y)$ se trouve sur un cercle de rayon $r$, alors $\sin \alpha = \frac{y}{r}$, $\cos \alpha = \frac{x}{r}$, et $\tan \alpha = \frac{y}{x}$.
2. Relations fondamentales entre fonctions du même angle
Elles découlent directement de l'équation du cercle unité $x^2 + y^2 = 1$ :
1. Relation quadratique : $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. Relation quotient : $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. Relation quotient : $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
En outre, en mathématiques avancées, les fonctions trigonométriques peuvent être calculées numériquement à l'aide de la formule de Taylor, par exemple :formule de Taylor$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$, ce qui illustre le lien profond entre les fonctions trigonométriques et les polynômes algébriques.
1. Rassemblez les termes du polynôme : un carré de taille x², trois bandes rectangulaires de taille x, et deux petits carrés unités de taille 1×1.
2. Commencez à les assembler géométriquement.
3. Ils s'assemblent parfaitement en un grand rectangle continu ! La largeur est (x+2), la hauteur est (x+1).
QUESTION 1
Écrivez l'ensemble des angles ayant le même côté terminal que $60^\circ$, puis trouvez les éléments $\beta$ satisfaisant l'inégalité $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$.
Ensemble $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$ ; éléments $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
Ensemble $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$ ; élément $\beta = 60^\circ$
Ensemble $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$ ; éléments $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
Ensemble $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$ ; élément $\beta = 60^\circ$
Correct !
Correct ! Les angles ayant le même côté terminal diffèrent d'un multiple entier de $360^\circ$. Lorsque $k=0$, $\beta=60^\circ$ ; lorsque $k=-1$, $\beta=-300^\circ$. Les deux valeurs sont dans la plage demandée.
Incorrect
Astuce : La forme générale des angles ayant le même côté terminal est $k \cdot 360^\circ + \alpha$. Cherchez les valeurs de $k$ correspondant à la plage donnée.
QUESTION 2
Sachant que $\alpha$ est un angle aigu, alors $2\alpha$ est ( ).
un angle du premier quadrant
un angle du deuxième quadrant
un angle positif inférieur à $180^\circ$
un angle du premier ou du deuxième quadrant
Correct !
Correct. Puisque $\alpha$ est un angle aigu, c'est-à-dire $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, alors $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$. Notez que $2\alpha$ pourrait être un angle droit, et n'appartient pas nécessairement à un quadrant spécifique.
Incorrect
Notez que la plage des angles aigus est $(0, 90^\circ)$, donc la plage doublée est $(0, 180^\circ)$. Cela inclut le premier quadrant, le deuxième quadrant, ainsi que la limite de $90^\circ$.
QUESTION 3
Étant donné que le côté terminal de l'angle $\theta$ passe par le point $P(-12, 5)$, calculez la valeur de $\sin \theta$.
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
Correct !
Correct ! Calculez d'abord $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$. Selon la définition, $\sin \theta = y/r = 5/13$.
Incorrect
Calculez $r$ : $r = \sqrt{x^2+y^2}$. La définition de la valeur sinus est $y/r$.
QUESTION 4
(Réponse orale) Soit $\alpha$ un angle intérieur d'un triangle. Parmi $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, lesquels pourraient avoir une valeur négative ?
Seulement $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ et $\tan \alpha$
Les trois pourraient avoir une valeur négative
Seulement $\tan \alpha$
Correct !
Correct. La plage des angles intérieurs d'un triangle est $(0, \pi)$. Dans le premier quadrant $(0, \pi/2)$, toutes les fonctions sont positives ; dans le deuxième quadrant $(\pi/2, \pi)$ (angle obtus), le sinus est positif, tandis que le cosinus et la tangente sont négatifs.
Incorrect
Astuce : Un angle intérieur d'un triangle peut être aigu, droit ou obtus. Considérez les signes des fonctions lorsque l'angle est obtus dans le deuxième quadrant.
QUESTION 5
Tracez la courbe de $y = -\sin x$ sur $[-\pi, \pi]$ en utilisant la méthode des cinq points. Lequel de ces points n'est pas un point clé ?
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
Correct !
Correct. La méthode des cinq points prend habituellement des points à chaque quart de période, soit $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$, et leurs valeurs fonctionnelles correspondantes. $\pi/4$ n'est pas un point clé standard de cette méthode.
Incorrect
La méthode des cinq points sélectionne les positions critiques où la fonction atteint ses valeurs extrêmes et ses zéros.
QUESTION 6
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est à la fois impaire et de période $\pi$ ?
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
Correct !
正确。$y = \sin 2x$ 是奇函数，且周期 $T = 2\pi/2 = \pi$。注意 $y = \tan x$ 虽然也是奇函数且周期为 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中题目中更常作为此类型的标准答案。
Incorrect
Vérifiez la formule de la période $T = 2\pi/\omega$ ainsi que la propriété d'imparité $f(-x) = -f(x)$.
QUESTION 7
Sans effectuer de calcul, comparez les valeurs de $\cos \frac{2\pi}{7}$ et $\cos(-\frac{3\pi}{5})$.
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
Égales
Impossible de comparer
Correct !
Correct. $\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$. Puisque $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$, et que la fonction cosinus est strictement décroissante sur $[0, \pi]$, l'angle plus petit a une valeur cosinus plus élevée.
Incorrect
Astuce : Utilisez la formule d'induction $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Comparez ensuite les angles dans le même intervalle monotone.
QUESTION 8
Étant donné la fonction $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$, son plus petite période positive est ( ).
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
Correct !
Correct. D'après la formule de la période $T = 2\pi / |\omega|$, ici $\omega = 2$, donc $T = 2\pi / 2 = \pi$.
Incorrect
Formule de la période : $T = 2\pi / \omega$.
QUESTION 9
Calculez la valeur de $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$.
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
Correct !
Correct. En utilisant l'inverse de la formule de l'angle double : $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. Ainsi, $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = 1/4$.
Incorrect
Astuce : Utilisez la formule de l'angle double $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
QUESTION 10
Sachant que $\sin \beta + \cos \beta = 1/5$, avec $\beta \in (0, \pi)$, quelle est la valeur de $\tan \beta$ ?
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
Correct !
Correct. Élevez au carré les deux côtés : $1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$. Comme la somme est positive et le produit négatif, on a $\sin \beta > 0$ et $\cos \beta < 0$ (deuxième quadrant). On obtient $\sin \beta = 4/5$, $\cos \beta = -3/5$, donc $\tan \beta = -4/3$.
Incorrect
Astuce : Élevez l'équation au carré pour obtenir $\sin \beta \cos \beta$, puis utilisez $\sin^2 + \cos^2 = 1$ pour déterminer les valeurs exactes du sinus et du cosinus.
Défi : Modélisation trigonométrique d'une grande roue
Analyse de phénomènes périodiques réels
Une grande roue a son point le plus élevé à 120 m au-dessus du sol, et son point le plus bas à 10 m. Elle tourne complètement en 30 minutes. Supposons qu'elle tourne à vitesse constante, et que le visiteur commence à compter le temps dès qu'il entre dans la cabine depuis le point le plus bas.
Q1
Trouvez l'expression analytique de la hauteur $h$ (en mètres) du visiteur au-dessus du sol en fonction du temps $t$ (en minutes).
Solution détaillée :
1. Amplitude $A$ : Le rayon est $(120 - 10) / 2 = 55$ m.
2. Déplacement vertical $k$ : La hauteur centrale est $(120 + 10) / 2 = 65$ m.
3. Vitesse angulaire $\omega$ : La période $T = 30$, donc $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Phase $\phi$ : À $t=0$, le point est au plus bas, $h=10$. Soit $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. À $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Expression analytique : $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ ou $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
1. Amplitude $A$ : Le rayon est $(120 - 10) / 2 = 55$ m.
2. Déplacement vertical $k$ : La hauteur centrale est $(120 + 10) / 2 = 65$ m.
3. Vitesse angulaire $\omega$ : La période $T = 30$, donc $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Phase $\phi$ : À $t=0$, le point est au plus bas, $h=10$. Soit $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. À $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Expression analytique : $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ ou $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
Q2
Quelle est la hauteur au-dessus du sol après 5 minutes de rotation ?
Solution détaillée :
Remplacez $t=5$ dans la formule :
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ m.
Conclusion : La hauteur est de 37,5 mètres.
Remplacez $t=5$ dans la formule :
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ m.
Conclusion : La hauteur est de 37,5 mètres.
Q3
Si la cabine tourne uniformément, comment la variation de position de la cabine se manifeste-t-elle sur la projection du cercle unité après une demi-période ?
Solution détaillée :
Après une demi-période (15 minutes), l'angle augmente de $\pi$ radians. Sur le cercle unité, cela signifie que le point $P(x, y)$ est passé au point symétrique par rapport à l'origine, $P'(-x, -y)$. En trigonométrie, cela se traduit par la formule d'induction : $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Par conséquent, si le point était initialement au plus bas, il sera nécessairement au plus haut après une demi-période.
Après une demi-période (15 minutes), l'angle augmente de $\pi$ radians. Sur le cercle unité, cela signifie que le point $P(x, y)$ est passé au point symétrique par rapport à l'origine, $P'(-x, -y)$. En trigonométrie, cela se traduit par la formule d'induction : $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Par conséquent, si le point était initialement au plus bas, il sera nécessairement au plus haut après une demi-période.
✨ Points clés
Sur le cercle unitéobservez les coordonnées,$y$ est le sinus $x$ est le cosinus.La somme des carrésest toujours égale à un,le rapport tangentedure à jamais!
💡 Les coordonnées sont les valeurs des fonctions
Souvenez-vous que le « cercle unité » est central. L'abscisse $x$ du point d'intersection du côté terminal avec le cercle unité est $\cos \alpha$, et l'ordonnée $y$ est $\sin \alpha$.
💡 Règle mnémotechnique des signes selon les quadrants
« Tous positifs dans le premier quadrant, sinus positif dans le deuxième, tangente positive dans le troisième, cosinus positif dans le quatrième ». Cela détermine comment choisir les signes positifs ou négatifs lors des opérations de racine carrée.
💡 Domaine de définition de la tangente
Puisque $\tan \alpha = y/x$, lorsque le côté terminal est sur l'axe $y$ (c'est-à-dire $\alpha = k\pi + \pi/2$), $x = 0$, la tangente n'est pas définie.
💡 Rappel sur les radians
Lors de l'application de la formule de Taylor ou du modèle physique de période ($T=2\pi/\omega$), les angles doivent être exprimés en radians.
💡 Méthode des cinq points pour tracer les graphes
Lorsqu'on trace les courbes sinus et cosinus, identifiez soigneusement les trois zéros et les deux points extrêmes, puis reliez-les par une ligne ondulée fluide.